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\chapter{Risques de modèle et calcul de sensibilités} % Main chapter title

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\lhead{Chapitre 8. \emph{Risques de modèle et calcul de sensibilités}} % Change X to a consecutive number; this is for the header on each page - perhaps a shortened title

\section{Comparaison des primes pures locales et de la prime nationale}
Dans le chapitre précédent, nous avons calculé les primes locales et la prime nationale selon deux approches différentes :\\
\begin{itemize}
\item Pour la tarification locale, nous proposons 28 produits d’assurance paramétrique de montant de couverture 1 million de dollars. Les 28 indices locaux associés à ces produits sont modélisés de façon indépendante selon la théorie des dépassements de seuil.\\
\item Pour la tarification nationale, nous proposons un produit d’assurance paramétrique de montant de couverture 28 millions de dollars. L’indice national associé dépend des 28 indices locaux. La dépendance entre les indices locaux des 28 cellules est modélisée selon la théorie des copules. La loi de l’indice national s’obtient par la sommation des indices locaux dont la dépendance est modélisée par la copule gausienne. \\
\end{itemize}

\noindent L’avantage de la seconde modélisation par rapport à la première est qu’elle permet de prendre en compte la dépendance des événements extrêmes locaux. En effet, une pluie extrême arrive en général simultanément dans plusieurs cellules de l’île. Le risque est donc plus important lors d’un événement national et se traduira par une prime pure plus importante que celle issue de l’agrégation d’événements locaux indépendants. 

\noindent En premier lieu, il peut être tentant de comparer la somme des primes locales obtenues selon l’approche univariée (1,29 millions de dollars) avec la prime nationale obtenue selon l’approche multivariée (8,68 millions de dollars). Cependant, il n’est pas forcément raisonnable de répartir le montant de couverture national uniformément sur les 28 cellules car les expositions au risque sont différentes. En effet, il est plus stratégique pour la Jamaïque d’allouer un montant de couverture plus important dans les zones à haut risque. Pour ce faire, nous proposons de créer 28 fonctions de paiement différentes dont le montant national est réparti selon les expositions des cellules. Nous recalculons la prime totale avec ces 28 nouvelles fonctions de paiement. La prime totale est de 5,12 millions de dollars au lieu des 1,29 millions de dollars obtenue avec une fonction de paiement identique pour toutes les cellules. L’écart entre la modélisation univariée et multivariée est ainsi réduit mais reste important. Voici plusieurs raisons possibles à cet écart :

\begin{itemize}
\item La modélisation des valeurs extrêmes univariées ne prend pas en compte la dépendance des pluies sur les cellules, ce qui sous-estime le montant de prime de la couverture sur l'ensemble du pays. \\
\item Les fonctions de paiement ne sont pas les mêmes selon les deux approches. Les points \textit{Exhaustion} et \textit{Attachment} sont définis comme des quantiles (\textit{Value at Risk} ou \textit{VaR}) de la distribution de l’indice. Or nous savons que la VaR est une mesure de risque non sous-additive, en particulier pour des lois de Pareto, ce qui implique que $VaR\left(I_{nat} =\sum_i^{28}I_{loc}\right) > \sum_i^{28} VaR \left( I_{loc} \right)$. \\
\end{itemize}

\noindent Dans tous les cas, il vaut mieux que le CCRIF propose le contrat national avec tarification par modélisation multivariée car celui-ci intègre le risque global des indices. Cela dit, il serait intéressant de rechercher quels sont les paramètres à l’origine de cet écart mais nous n’avons pas eu le temps nécessaire pour approfondir cet aspect. 

\noindent Dans la suite, nous analysons la sensibilité de la prime face à des changements de paramètre. 

\section{Convergence numérique de la prime}
Nous avons vu que la tarification des primes locales et de la prime nationale se base sur la méthode de Monte-Carlo. Dans les calculs effectués précédemment, nous avons fixé le nombre de simulations à 10 000. Dans ce paragraphe, nous nous interrogeons sur la convergence du calcul de prime en fonction du nombre de simulations avec les hypothèses du chapitre \ref{Chapter7}.

\subsection{Prime locale}
La figure \ref{fig: Simulation Primes Pures} reproduit l’évolution du montant de la prime totale en fonction du nombre de simulations des variables $X|X>250$. La convergence se stabilise dès 1000 simulations et le résultat des 10 000 simulations est de 1 290 180 \$ (les montants sont divisés par 10 000 dans les graphiques).
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.6,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/simulation_prime_pure.png}
   %\rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Convergence des simulations de Monte-Carlo pour la prime pure locale]{Convergence des simulations de Monte-Carlo pour la prime pure locale}
  \label{fig: Simulation Primes Pures}
\end{figure}
\subsection{Prime nationale}
De la même manière, nous avons analysé la convergence de la prime nationale en fonction du nombre de simulations. Le résultat est stable à partir de 5000 simulations. Pour rappel, la prime calculée pour 10 000 simulations était de 8,69 millions de dollars. Selon l'intervalle de confiance à 5\% obtenu par le théorème central limite, la prime est fiable à 400 dollars près.
\begin{figure}[htbp]
   \centering
    \includegraphics[scale=0.6,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/simulation_prime_nat.pdf}
    %\rule{35em}{0.5pt}
   \caption[Convergence des simulations de Monte-Carlo pour la prime nationale]{Convergence des simulations de Monte-Carlo pour la prime nationale}
   \label{fig: Simulation Prime Pure Nat}
\end{figure}

\noindent En résumé, le nombre de 10 000 simulations est suffisant dans le calcul de nos primes. Dans la suite, nous gardons ce paramètre pour analyser les risques liés au choix de modèle. 

\section{Les risques de modèle}
La prime du produit XSR exigée par le CCRIF dépend du modèle choisi pour l’indice paramétrique. Dans ce paragraphe, nous nous proposons de tester la sensibilité du calcul de la prime face à un changement de modèle.

\subsection{Choix de modèle GEV} 
\label{Choix modèle}
%Choix de $\xi$ \\
%Notre modélisation de l'indice paramétrique a été effectuée sur l'hypothèse des marginales de loi Pareto I, autrement dit de loi Pareto Généralizée dont le paramètre de forme $\xi $ est positif \ref{th: GPD}. Parmi les lois de la famille GEV, la loi Pareto type I fournit une distribution dont la queue est la plus lourde, c'est à dire, elle permet de simuler les valeurs extrêmes plus fréquement que d'autres lois de la même famille, ce qui pourrait entrainer une surestimation des valeurs extrêmes lors de notre simulation des pluies 5 jours. Dans cette partie, nous allons donc utiliser la loi exponentielle, qui fournit une queue de distribution plus légère, pour modéliser les pluies 5 jours marginalement sur nos cellules d'observation et ensuite voir l'impact que cela pourrait entrainer sur le contrat XSR. 
\subsubsection{Impact sur les primes locales}
Dans la partie précédente, nous avons calculé des primes pures locales grâce à un modèle de dépassement de seuil des pluies agrégées. Le modèle sous-jacent a pour paramètre de forme $\xi>0$ (Fréchet) sur 24 cellules  et $\xi < 0$ (Weibull) sur 4 cellules. Pour rappel, nous avions effectué un test de Student sur le paramètre $\xi$ de la ville de Kingston et avions conclu qu’il n’était pas significatif. En choisissant $\xi > 0$, nous considérons que les queues de distribution sont plus épaisses que dans le cas $\xi =0$ (Gumbel), ce qui \textit{a priori} augmenterait la prime pure du contrat. C’est pourquoi nous recalculons les primes en estimant à nouveau les modèles de dépassement sous la contrainte $\xi=0$ pour les 28 cellules (cf. annexe \ref{AppendixB}). Les primes sont recalculées sur les 28 couvertures locales dont le montant limite de couverture est de 1 million de dollars. La prime totale est de 916 000 \$ qui est à comparer avec les 1,29 millions de \$ obtenues lorsque $\xi \neq 0$. La prime pure est alors abaissée de 40\%, ce qui est non négligeable. Cela illustre la problématique de sélection du modèle de dépassement de seuil des pluies agrégées. 
\subsubsection{Impact sur la prime nationale}
De la même manière, nous avons  simulé à nouveau la distribution jointe des pluies 5 jours sous la contrainte $\xi=0$. A partir de celle-ci, nous en déduisons une distribution de l'indice paramétrique national. 

\noindent Avant de passer à la tarification du contrat XSR, nous comparons tout d'abord la nouvelle distribution avec la distribution lorsque $\xi \neq 0$. Par la figure \ref{fig:Comparaison Distribution}, nous pouvons voir que la nouvelle distribution de l'indice national fournit une queue de distribution plus fine. Cela est réconfortant car nous avons des marginales de Gumbel ($\xi=0$) qui fournissent une queue de distribution plus fine que les lois de Fréchet ($\xi>0$). Nous comparons dans la table \ref{tab: Comparaison Quantile} les quantiles de la distribution simulée lorsque $\xi=0$  et lorsque $\xi \neq 0$. Les niveaux de quantiles de la nouvelle distribution sont nettement en baisse, ce qui ne sera pas sans impact sur la prime nationale. 

\begin{figure}[htbp]
  \centering
    \includegraphics[height=8cm,keepaspectratio=true]{Figures/Chapter3/comparaison_xi.pdf}
  \caption[Distribution de l'indice national selon la valeur de $\xi$]{Distribution de l'indice national selon la valeur de $\xi$}
  \label{fig:Comparaison Distribution}
\end{figure}

 \begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c|c}
Période de retour  & Quantile & Indice lorsque $\xi\neq 0$ & Indice lorsque $\xi =0$ \\
\hline \hline
1/2 ans  & 75\%   & 4,94 & 3,41 \\
1/5 ans  & 90\%   & 14,23 & 9,32 \\
1/10 ans & 95\%   & 23,65 & 14,79 \\
1/20 ans & 97.5\% & 34,14 & 20,77\\ 
\end{tabular}
\caption[Quantile et période de retour de l'indice national]{Quantile et période de retour de l'indice national}
\label{tab: Comparaison Quantile}
\end{table}

%Afin de rester sur la même base de comparaison, nous avons retenu les mêmes paramètres de base du contrat XSR de la partie \ref{sec: Tarification}  : \\
%\begin{itemize}
%\item Fixer les points Attachement et Exhaustion afin de permettre à la Jamaïque de se protéger contre tous les événements extrêmes historiques. 
%\item Fixer le Coverage Limit à 28 millions. 
%\item Le nombre d'événements extrêmes nationaux est pris égal à 2. \\
%\end{itemize}
\noindent Avec les mêmes hypothèses du chapitre \ref{Chapter7}, la prime pure calculée est égale à 6,20 millions lorsque $\xi=0$ contre 8,68 millions lorsque $\xi \neq 0$, soit une baisse de 28 \%. La prime est donc un peu moins sensible au changement de modèle multivarié par rapport au changement de modèle univarié. 

%Dans la modélisation des pluies 5 jours par des lois exponetielles, les queues de distribution sont plus fines. Implicitment, le rique des valeurs extrêmes est moins important, ce qui explique la baisse de la prime pure.

\noindent Le fait de choisir la loi Gumbel pour modéliser les dépassements des pluies 5 jours permet à l'assureur de faire baisser le tarif du contrat. Cela rend le contrat XSR plus attratif pour les bénificaires potentiels mais en échange l'assureur prend plus de risque liée à la sous-estimation des extrêmes. 


\subsection{Choix de copule}
Dans ce paragraphe, nous revenons sur le choix de la copule gaussienne et nous interrogeons sur l'adéquation de ce choix à notre problématique.

\noindent Pour rappel, la copule gaussienne est souvent utilisée pour modéliser la corrélation des risques en finance car elle est simple à utiliser et à paramétrer. La structure de dépendance de la copule gaussienne est représentée par la matrice de variance $\Gamma$. Dans le cas où nous souhaitons modéliser la dépendance entre 28 variables aléatoires, la copule gaussienne apparait comme un candidat opérationnel.  

\noindent Cependant, il est souvent reproché à la copule gaussienne de ne pas pouvoir modéliser la dépendance des risques extrêmes. La modélisation de l'indice paramétrique reposant sur le dépassement des pluies agrégées 5 jours, leur corrélation doit être prise en compte. Afin de quantifier la dépendance des valeurs extrêmes, nous introduisons une mesure plus adaptée que le tau de Kendall et le rho de Spearman (c.f \ref{Chapter6})  
\begin{definition} Soit ($X$,$Y$) couple de variables aléatoires, $X\sim F$, $Y \sim G$ :
\begin{enumerate}
\item Le coefficient de queue supérieure de ($X$,$Y$) est :
\begin{align*}
\lambda_u &= \lim_{t \longrightarrow 1^- } \mathbb{P}\left(G(Y)>t | F(X)>t \right) \\
%\lambda_u &=\lim_{t \longrightarrow 1^- } \mathbb{P}\left(F(X)>t | G(Y)>t \right)\\
&=\lim_{t \longrightarrow 1^- }\frac{ \mathbb{P}\left(G(Y)>t , F(X)>t \right)}{\mathbb{P}(F(X)>t)}
\end{align*}
\item Le coefficient de queue inférieure de ($X$,$Y$) est :
\begin{align*}
\lambda_l &= \lim_{t \longrightarrow 0^+ } \mathbb{P}\left(G(Y)<t | F(X)<t \right) \\
&=\lim_{t \longrightarrow 0^+ }\frac{ \mathbb{P}\left(G(Y)<t , F(X)<t \right)}{\mathbb{P}(F(X)<t)}
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{definition}

Les coefficients de dépendance de queue sont des limites des probabilités conditionnelles respectives $\mathbb{P}\left(G(Y)<t | F(X)<t \right)$ (coefficient inférieur) et  $\mathbb{P}\left(G(Y)>t | F(X)>t \right) $ (coefficient supérieur) lors que $t$ tend respectivement vers 0 et 1. Afin de pouvoir représenter graphiquement le comportement limite de ces coefficients, il est préférable d'utiliser les fonctions suivantes :
\begin{equation*}
\left\lbrace
\begin{array}{lr}
L(t)=\frac{\mathbb{P}(F(X)\leq t,G(Y)\leq t)}{\mathbb{P}(F(X) \leq t)} &\textnormal{pour la queue de distribution inférieure} \\ \\
R(t)=\frac{\mathbb{P}(F(X)\geq t,G(Y)\geq t)}{\mathbb{P}(F(X) \geq t)} &\textnormal{pour la queue de distribution supérieure}  \\
\end{array}
\right.
\end{equation*} 
\noindent Pour étudier la structure de dépendance des extrêmes entre les cellules, nous nous focalisons sur deux cellules particulières qui sont la 20 et la 21. Pour rappel, la cellule 20 contient l'agglomération de Kingston tandis que la 21 se situe au nord de Kingston. Ce sont les deux coefficients d'exposition les plus élévés parmi les 28 zones. 

\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.8]{Figures/Chapter3/Copule_Normale.pdf}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Corrélation en fonction de quantile]{Corrélation en fonction de quantile sur les données historiques (noir) et les données simulées par copule Gausienne (rouge)}
  \label{fig: Copule Normale}
\end{figure}

\noindent Sur la figure \ref{fig: Copule Normale}, nous avons représenté en trait noir plein d'une part la courbe $ \left( u,L(u) \right)$ pour $0<u<0,5$ et d'autre  part $\left( u,R(u) \right)$ pour $0,5<u<1$ sur les données historiques. Les valeurs de $R(u)$ et $L(u)$ pour $u =0,5$ sont toutes les deux égales à  $0,81$. Cette valeur coincïde avec la covariance estimée \footnote{estimation par la méthode d'inversion du tau de Kendall} pour la copule gaussienne associé à l'indice national. Notons que pour les quantiles supérieurs à 90\%, la dépendance en queue supérieure est instable car le nombre d'observations est réduit. De manière globale, la corrélation est plus forte pour les grandes valeurs que pour les petites valeurs. Cela est réconfortant dans la mesure où les deux régions sont voisines et donc vraisemblablement impactées de la même manière lors de la traversée d'une pluie torrentielle. Le profil de dépendance entre ces deux régions est asymétrique par rapport au quantile 50\%.

\noindent De la même manière, nous avons représenté en trait plein rouge les mêmes courbes mais sur les données simulées à l'aide de la copule gaussienne. Rappelons que le paramètre de corrélation pour la copule gaussienne est estimé à $0,81$. Le graphique nous permet de visualiser comment les queues de distribution sont modélisées par la copule gaussienne. Nous constatons en premier lieu que la copule gaussienne modélise de manière symétrique (par rapport au quantile 50\%) la dépendance de queue. Pour des valeurs intermédiaires, situées entre les quantiles 40\% et 60\%, la copule gaussienne modélise de manière convenable leur dépendance. Cependant, pour des valeurs extrêmes, la dépendance modélisée par copule gaussienne est loin d'être convaincante. En effet, la corrélation de queue inférieure est sur-estimée tandis que la corrélation de queue supérieure est sous-estimée en raison du profil asymétrique de la dépendance historique. Etant donné que la modélisation du produit XSR s'appuie essentiellement sur la queue supérieure de distribution, une sous-estimation de la dépendance de celles-ci se traduirait en une sous-estimation de la prime nationale. 

\noindent Pour remédier à ce problème, nous avons tenté d'utiliser la copule bivariée de Gumbel plus reconnue pour modéliser la dépendance des extrêmes. 

\begin{definition} \textbf{Copule de Gumbel bivariée}\\
La copule de Gumbel est défnie par la fonction bivariée : 
\begin{equation*}
C_{\alpha}(u,v) = \exp \lbrace -\lbrack\left(-\ln u \right)^{\alpha} + \left(-\ln v \right)^{\alpha}\rbrack^{1/\alpha}\rbrace,
\end{equation*}
où $\alpha \geq 1$ est le paramètre de la copule. 
\end{definition}

\noindent Le paramètre $\alpha$ de la copule de Gumbel permet de spécifier le comportement de la dépendance en queue supérieure. Nous représentons la fonction $C_{\alpha}$ en fonction de $(u,v)$ pour $\alpha \in \lbrace 2;3 \rbrace$  dans la figure \ref{fig: Gumbel}. Comme l'on peut constater sur le tracé, pour des valeurs de $u$ et $v$ proches de 1, la concentration des points devient importante dès lorsque $\alpha$ augmente, ce qui signifie que la dépendance en queue supérieure est d'autant plus forte que le paramètre $\alpha$ est grand. 
 
\begin{figure}[htbp]
  \centering
  \subfigure[$\alpha=2$]{
   \includegraphics[width=6cm,height=6cm]{Figures/Chapter2/Gumbel_2.pdf}}
  \subfigure[$\alpha=3$]{
     \includegraphics[width=6cm,height=6cm]{Figures/Chapter2/Gumbel_3.pdf}}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Copule de Gumbel]{Tracé (u,v) de la copule de Gumbel}
  \label{fig: Gumbel}
\end{figure}

\noindent Sans entrer plus en détails, nous avons utilisé la copule de Gumbel pour modéliser conjointement les dépassements des pluies des cellules 20 et 21. Les fonctions de dépendances $L(u)$ et $R(u)$ sont ainsi re-calculées dans le cas de la copule de Gumbel. Elles sont représentées en trait bleu plein sur la figure \ref{fig: Copule Gumbel}.

\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.8]{Figures/Chapter3/Copule_Gumbel.pdf}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Corrélation en fonction du quantile de la copule Gumbel]{Corrélation en fonction du quantile de la copule Gumbel}
  \label{fig: Copule Gumbel}
\end{figure}

\noindent Le profil de dépendance fourni par la copule de Gumbel est désormais asymétrique. La dépendance en queue inférieure de distribution est beaucoup plus faible que celle en queue supérieure. La fonction de dépendance inférieure $L$ est une arc de parabole pour des quantiles entre 0 et 50\% tandis que la fonction $R$ est plutôt linéaire décroissante pour des quantiles supérieures à 50\%. Il est à noter que la valeur de la dépendance au quantile 50 \% coincïde pour les trois courbes (historiques, copule Normale et copule de Gumbel). Nous notons aussi que la copule de Gumbel reproduit de manière plutôt convenable la dépendance en queue supérieure, surtout pour des quantiles entre 50\% et 90\% (le comportement de R sur les données historiques est très aléatoire au delà de 0,9 à cause du nombre d'observations). De plus, la calibration de la dépendance de queue inférieure par la copule de Gumbel est meilleure que celle fournie par la copule Gaussienne. L'utilisation de la copule de Gumbel est donc plus adaptée au problème de dépassement de seuil dans le cas bidimensionnel.

\noindent Cependant, l'utilisation de la copule de Gumbel multidimensionnelle n'est plus adaptée à notre problème lorsque la dimension est supérieure à 2. En effet, la copule de Gumbel multidimensionnelle est toujours paramétrée par un seul paramètre $\alpha$. Il est imprudent de vouloir modéliser la structure de dépendance mutelle entre 28 cellules par 1 seul paramètre. C'est d'ailleurs pour cette raison que nous avons privilégié l'utilisation de la copule gausienne en dimension 28. Cela dit, il est toujours possible d'utiliser la copule de Gumbel mais il faudrait faire appel aux copules de type \emph{Nested Archimedean Copulas}. Leur connaissance et application dépassent le cadre de notre mémoire. 

\section{Calcul de sensibilités}
\subsection{Changement de la base d’estimation}

Jusqu’à présent, les primes pures ont été estimées sur l’ensemble des pluies annuelles. En effet, le produit XSR est censé protéger la Jamaïque sur toute l’année de souscription du contrat. Si le CCRIF proposait une couverture par mois, alors la prime serait bien plus importante en Mai qu’en Janvier. En proposant une couverture annuelle, le CCRIF se heurte au problème de sous-tarification de la prime car le calcul ne prend pas en compte la saisonnalité des pluies. Nous nous proposons d’estimer la prime pure lorsque la base d’estimation ne comporte que les pluies de la saison pluvieuse de Mai à Décembre. Les lois des indices locaux sont estimées à nouveau sur les 28 cellules. La nouvelle prime pure résultant des 10 000 simulations de l’indice locale est de 932 000 \$ lorsque $\xi=0$ et de 1,27 millions \$ de  lorsque $\xi \neq 0 $. En d’autre terme, la prime augmente de 1,7\% lorsque seule la saison des pluies sert à l’estimation des lois de Pareto pour  $\xi=0$ . Paradoxalement, la prime diminue de 1,5\% lorsque seule la saison des pluies sert à l’estimation des lois de Pareto pour  $\xi \neq 0$. Le paramètre d’échelle augmente car les pluies sont plus intenses pendant la saison des pluies. Les pluies sont en revanche moins dispersées que sur la totalité de l’année ce qui a pour conséquence de diminuer le paramètre d’échelle $\sigma$. Le deuxième effet étant plus important que le premier, la somme $\sigma+\xi \times(250-100)$ va faiblement diminuer rendant la prime plus faible que lors du premier calcul. Cependant, l’effet reste négligeable par rapport à la sensibilité de la prime calculée dans le paragraphe \ref{Choix modèle}.

\subsection{Changement du seuil d’estimation}

Pour rappel, les paramètres sont estimés sur un échantillon dont le seuil $u_0$ est sélectionné visuellement (cf. chapitre \ref{Chapter5}). N’ayant pu automatiser cette phase, nous avons choisi le seuil de la cellule de Kingston (100 mm) sur les 28 cellules afin d’estimer les lois GPD puis nous avons déduit les lois de dépassement du seuil 250 mm. Nous testons la sensibilité du calcul des primes locales face au changement du seuil de modélisation $u_0$. 

\noindent L’augmentation du seuil provoque deux effets opposés plus connus sous le nom de biais-variance. En augmentant le seuil $u_0$, les pluies extrêmes sélectionnées sont en moyenne plus intenses ce qui diminue le biais des estimateurs du dépassement de 250 mm. En revanche, le nombre d’événements sélectionnés est moins important ce qui augmente la variance des estimateurs. Les primes ont été calculées pour des seuils variant de 50 à 240 mm. 

\noindent Lorsque le paramètre de forme est choisi nul, la prime totale augmente car le modèle de Gumbel ne prend en compte qu’un paramètre d’échelle représentant la moyenne des dépassements. La prime varie de 753 000 \$ à 1 116 000 \$ en fonction du seuil choisi lorsque $\xi=0$. L’évolution des primes en fonction du seuil $u_0$ est représentée dans la figure \ref{fig: Prime Seuil}. La prime étant croissante en fonction du seuil de sélection, c’est l’effet biais \footnote{Diminution du biais avec l'augmentation du seuil} qui l’emporte sur l’effet variance \footnote{Augmentation de la variance avec l'augmentation du seuil}. 

\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{Figures/Chapter3/prime_seuil.pdf}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Variation de la prime en fonction du seuil ($\xi = 0$)]{Variation de la prime en fonction du seuil ($\xi = 0$)}
  \label{fig: Prime Seuil}
\end{figure}

\noindent En revanche, lorsque le modèle spécifie un paramètre $\xi \neq 0$, alors l’effet variance l’emporte sur l’effet biais car la prime estimée décroit avec le seuil de sélection d’après la figure \ref{fig: Prime Seuil_2} . %, la prime diminue avec le seuil de sélection. 

\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{Figures/Chapter3/prime_seuil_2.pdf}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Variation de la prime en fonction du seuil ($\xi \neq 0$)]{Variation de la prime en fonction du seuil ($\xi \neq 0$) }
  \label{fig: Prime Seuil_2}
\end{figure}

\noindent En conséquence, si l'on choisit un seuil de sélection trop grande, la prime risque d'être sous-estimée. Nous preférons un modèle qui discrimine cet effet. C'est la raison pour la quelle il vaut mieux utiliser un modèle où $\xi \neq 0$.
%Il est plus raisonnable de tarifier le produit à l’aide d’un modèle où $\xi$ peut être non nul car le risque d’un seuil de sélection trop élevé peut être discriminé par une prime sous-estimée. 

\subsection{Changement des paramètres de la courbe de vulnérabilité}

Comme énoncé dans le chapitre \ref{Chapter3}, la fonction de vulnérabilité reliant le pic d’un événement local au pourcentage d’indemnité ne nous a pas été communiquée. Dès lors, nous avons choisi de calculer les indices sur base d'une fonction de vulnérabilité linéaire avec un seuil maximal B=800 mm et un taux d’indémnité maximal C=100\%. Nous nous proposons de démontrer que la modification des paramètres B et C n’a pas d’influence majeure sur les primes calculées.

\subsubsection{Calibration du paramètre C}
La fonction de vulnérabilité reliant une précipitation à un pourcentage de destruction, il serait légitime d’estimer un paramètre C reflétant un pourcentage historique lié aux pluies torrentielles. Pour ce faire, nous utilisons les 6 données historiques de pertes afin de calibrer un modèle linéaire sur fonction de dommage modifiée\footnote {L’abscisse est une précipitation en mm et non plus un indice comme précédemment}. Pour chacune des 6 catastrophes, nous prenons comme abscisse le maximum par cellule des pics de pluie enregistrés lors de l’épisode et comme ordonné le pourcentage des pertes \footnote{Les pertes ont été ajustées par les dommages liés à la force du vent.} par rapport au PIB de la Jamaïque. 

\begin{table}[htbp]
\centering
\begin{tabular}{l|c|C{5cm}}
\textbf{Catastrophe naturelle} &	\textbf{Pertes en \% du PIB}	 & \textbf{Max des pics de précipitation} (en mm) \\
\hline \hline
Ouragan Michelle & 	0,8 & 	306\\
Pluie torrentielle Juin	& 0,02 & 407\\
Ouragan Ivan	& 1,6	& 378 \\
Ouragan Wilma	& 0,7	& 358\\
Tempête tropicale Gustav	& 2	 & 419\\
Tempête tropicale Nicole	& 1,9	& 503\\
\end{tabular}
\caption[Pertes liées au catastrophe naturelle en fonction du pic de précipitation]{Pertes liées au catastrophe naturelle en fonction du pic de précipitation}
\end{table}

\noindent Nous pouvons estimer un coefficient directeur de la vulnérabilité entre 250 mm et 800 mm par la méthode des moindres carrés ordinaires. Nous pouvons dans un second temps déduire le taux d’indemnité limite C. Nous ne prenons pas en compte les pertes liées aux pluies torrentielles en Juin car elles sont trop petites par rapport à la tendance historique des autres pertes. Le calcul donne un coefficient directeur égal à 0.0084. On en déduit que $C=(800-250)\times 0.0084=4,62\%$ (cf. figure \ref{fig: vulnérabilité historiques}).
\begin{figure}[htbp]
  \centering
   \includegraphics[scale=0.4]{Figures/Chapter3/vul_histo.pdf}
     \rule{35em}{0.5pt}
  \caption[Calibration de C sur les données historiques]{Calibration de C sur les données historiques}
  \label{fig: vulnérabilité historiques}
\end{figure}

\subsubsection{Impact sur la prime locale}
Après avoir modifié le paramètre C de la fonction de vulnérabilité, nous recalculons la prime locale sur les 28 cellules avec les hypothèses du chapitre \ref{Chapter7}. La prime totale reste égale à 1,29 millions de dollars. En prenant différentes valeurs de C, nous réalisons que la prime n'est pas modifiée. En effet, la valeur des quantiles des événements historique change en même temps que la fonction de vulnérabilité est modifiée ce qui permet de rendre la prime consistante. 

\noindent Dans la même idée, il est possible de modifier le paramètre B. On fait varier B entre 600 et 10 000 mm. La prime totale n'est pas modifié et converge vers la valeur de 1,314 millions de dollars, soit une augmentation de 1,5\% par rapport au calcul original. 

\subsubsection{Impact sur la prime nationale} 
De même, nous calculons l'impact lié à la modification de la fonction de vulnérabilité sur la prime nationale. 

\noindent Comme pour les primes locales, cette dernière est insensible au changement de paramètre C et reste toujours à 8,68 millions de dollars.

\noindent Lorsque B = 10 000 mm, la prime augmente de 0,04 \% par calcul original, soit 8,72 millions de dollars. Pour B = 600 mm, la prime est de 8,52 millions de dollars, soit une baisse de 2\% par rapport à l'hypothèse initiale B = 800 mm. 

\noindent En conclusion, le calcul de prime est peu sensible à la modification de la fonction de vulnérabilité. Cependant, le choix du modèle de valeurs extrêmes est important dans la mesure où la prime diminue de 40\% si le modèle utilisé considère des queues de distribution moins épaisses.

\noindent Pour limiter l'impact de la sous-estimation de la prime, le CCRIF a la possibilité à faire appel à des acteurs externes afin de transférer une partie du risque supporté. C'est ce que nous allons voir dans le dernier chapitre de ce mémoire. 
